| Firme 2: Investir | Firme 2: Continuer | |
|---|---|---|
| Firme 1:Investir | (3,3) | (4,1) |
| Firme 1: Continuer | (1,4) | (1.5,1.5) |
Théorie des jeux et économie industrielle
UC1 - Analyse économique
I. Rappel des concepts importants
Rappels
- Jeux simultanés ou séquentiels
- Représentation normale : pour les jeux à 2 joueurs, et un espace de stratégies finies, en bimatrice
- Représentation extensive : arbre de décision
- Représentation en meilleures réponses : on a les fonctions qui déterminent les stratégies des joueurs
- Concepts d’équilibre
- Equilibre de Nash : allocation où les joueurs n’ont pas intérêt à changer de stratégie de façon unilatérale
- Equilibre parfait en sous-jeu : raffinement de l’équilibre de Nash, il implique que
Rappels et outline
- Types de solutions :
- Fonctions de meilleure réponse
- Détermination des stratégies dominantes/dominées
- Induction à rebours
Aujourd’hui, le programme:
- Jeux simultanés : équilibre de Nash, forme normale
- Jeux séquentiels :
- Jeux répétés :
- Duopoles: cas d’étude
I. Jeux simultanés
Entreprises polluantes et régulation
- Deux companies, A & B, sont dans une industrie en passe d’être plus régulée. Chaque entreprise a deux choix :
- Investir dans une technologie plus verte (I): cela représente un coût, mais améliore la performance environnementale, l’image publique, et réduit ainsi les probabilité de régulation du secteur
- Continuer avec la technologie polluante (C): pas de coût, mais augmente le risque de régulation
- Payoff :
- Si les deux investissent, réduisent bien le risque de régulation, et ce qui couvre les coûts: \((3,3)\)
- Si l’un des deux seulement investit, il gagne un avantage compétitif en étant identifié comme plus soutenable, mais l’autre entreprise risque gros : \((4,1)\)
- Si aucun des deux n’investit, les coûts ne sont pas payés, mais il y a un risque accru de régulation : \((1.5, 1.5)\)
Entreprises polluantes et régulation
A corriger
- Ecrivez le jeu en forme normale
Entreprises polluantes et régulation
- Quels sont les choix de l’entreprise B?
| Firme 2: Investir | Firme 2: Continuer | |
|---|---|---|
| Firme 1:Investir | (3,3) | (4,1) |
| Firme 1: Continuer | (1,4) | (1.5,1.5) |
| Firme 2: Investir | Firme 2: Continuer | |
|---|---|---|
| Firme 1:Investir | (3,3) | (4,1) |
| Firme 1: Continuer | (1,4) | (1.5,1.5) |
C’est donc la stratégie d’investir qui est dominante
Entreprises polluantes et régulation
- Quels sont les choix de l’entreprise A?
| Firme 2: Investir | Firme 2: Continuer | |
|---|---|---|
| Firme 1:Investir | (3,3) | (4,1) |
| Firme 1: Continuer | (1,4) | (1.5,1.5) |
| Firme 2: Investir | Firme 2: Continuer | |
|---|---|---|
| Firme 1:Investir | (3,3) | (4,1) |
| Firme 1: Continuer | (1,4) | (1.5,1.5) |
C’est donc la stratégie d’investir qui est dominante
Entreprises polluantes et régulation
On a donc les stratégies dominantes suivantes :
| Firme 2: Investir | Firme 2: Continuer | |
|---|---|---|
| Firme 1:Investir | (3,3) | (4,1) |
| Firme 1: Continuer | (1,4) | (1.5,1.5) |
L’équilibre de Nash est (i) unique, et (ii) optimal (le bien être collectif est maximal)
Ce n’est pas toujours le cas! Les équilibres sont souvent sous-optimaux.
Accord environmental
Le Brésil et l’Union Européenne essaient de former un accord bilatéral pour des standards environnementaux de production. Chacun ont deux options:
- Appliquer des standards élevés : cela implique des normes environnementales coûteuses, mais qui réduisent les pollutions
- Applique des standards bas : les coûts demeurent bas, mais la pollution est plus importante
- Payoffs :
- Si les deux mettent des standards élevés, les coûts sont importants mais la pollution est limitée: \((4,4)\)
- Si le Brésil applique des standards élevés, mais pas l’UE, la pollution se répend, n’est pas très limitée, les coûts sont élevés pour le Brésil \((-1,0)\)
- Si les deux optent pour des standards bas, pollution importante mais coûts limités: \((1,1)\)
Accord environmental
- Représentez le jeu en forme normale
Stratégie du Brésil
|
||
|---|---|---|
| Standards élevés (C) | Standards Faibles (D) | |
| Standards élevés(C) | (4,4) | (-1,0) |
| Standards Faibles (D) | (0,-1) | (1,1) |
Dumping environmental
- Où sont le(s) équilibre(s) de Nash?
Stratégies du Brésil
|
||
|---|---|---|
| Brésil: Standards élevés (C) | Brésil: Standards faibles (D) | |
| Standards élevés (C) | (4,4) | (0,-1) |
| Standards faibles (D) | (-1,0) | (1,1) |
- Pas de stratégie dominante
- Mais 2 équilibres de Nash :
- On a du mal à “choisir”
Jeux séquentiels
Jeux séquentiels 1 - Induction à rebours
Prenez deux firmes Alpha et Beta, qui enchérissent de façon récursive pour l’obtention d’une licence d’exploitation. La firme A décide en premier, et la firme B réagit. Le jeu consiste en 3 rounds:
- Round 1 : Alpha décide :
- Enchère basee : passer au tour suivant
- Enchère haute : A gagne d’un coup : \(A,B = (4,1)\)
- Round 2 : décision de Beta si Alpha a choisi une faible enchère
- Enchère basse : passer au tour suivant
- Enchère haute : Beta gagne le contrat avec \(A,B= (1,4)\)
- Round 3 : décision finale de Alpha, si les deux enchères d’avant étaient basses
- Enchère basse : personne ne gagne et \(A,B=(0,0)\)
- Enchère haute : Alpha gagne mais doit partager avec Beta le contrat, \(A,B=(3,2)\)
Jeux séquentiels 1 - Induction à rebours
Utilisez l’induction à rebours pour trouver les équilibre(s) parfait(s) en sous-jeux
- Au round 3 : A choisira de miser haut, donc le payoff est de \((3,2)\)
- Au round 2 : B peut choisir entre \((3,2)\) (en misant bas) et \((1,4)\)
Il choisit donc \((1,4)\) et joue (haut) - Au round 1 : A sait que B jouera (haut) donc il a le choix entre \((1,4)\) et \((4,1)\)
Il choisit donc (haut) - L’équilibre parfait en sous jeux est (haut, (haut,bas), (haut,bas))
Jeux séquentiels 2 - Accord environnemental séquentiel
Les équilibres parfaits en sous-jeux - et les équilibres de Nash
- On reprend le cadre du jeu des accords
- On ne sait pas à quoi mènera l’équilibre de Nash. C’est embêtant.
- On voudrait pouvoir trouver un moyen de converger vers celui qui est le mieux
- Et on voudrait savoir si le timing des décisions peut aider
- Enfin, on illustre ici que les équilibres parfaits en sous-jeux sont des sous-ensembles des équilibres de Nash
Jeux séquentiels 2 - Accord environnemental séquentiel
Forme extensive
Jeux séquentiels 3 : entrée ou non
Les équilibres parfaits en sous-jeux - et les équilibres de Nash
- Une firme A doit choisir ou non de rentrer sur un marché où est la firme B:
- Si la firme A n’entre pas, elle n’a rien et la firme B reste en monopole: \((0,50)\)
- Si la firme \(A\) entre et que la firme \(B\) ne fait rien : \((10,20)\)
- Si la firme \(A\) entre que la firme \(B\) se venge : \((-10,10)\)
- Ecrivez le jeu sous forme normale:
| Firme 2: réaction | Firme 2: pas de réaction | |
|---|---|---|
| Firme 1: entrer | (-10,10) | (10,20) |
| Firme 1: ne pas entrer | (0,50) | (0,50) |
Jeux séquentiels 3 : entrée ou non
Où sont les équilibres de Nash?
| Firme 2: réaction | Firme 2: pas de réaction | |
|---|---|---|
| Firme 1: entrer | (-10,10) | (10,20) |
| Firme 1: ne pas entrer | (0,50) | (0,50) |
| Firme 2: réaction | Firme 2: pas de réaction | |
|---|---|---|
| Firme 1: entrer | (-10,10) | (10,20) |
| Firme 1: ne pas entrer | (0,50) | (0,50) |
| Firme 2: réaction | Firme 2: pas de réaction | |
|---|---|---|
| Firme 1: entrer | (-10,10) | (10,20) |
| Firme 1: ne pas entrer | (0,50) | (0,50) |
Jeux séquentiels 3 : entrée ou non?
Forme extensive
Jeux séquentiels 3 : entrée ou non?
- Quels sont les équilibres parfaits en sous jeux
- Induction à rebours
- Si A entre, B n’a pas intérêt à réagir, donc le payoff est \((10,20)\)
- Pour A, soit il reste dehors \((0,50)\), soit il entre sans réaction \((10,20)\)
- L’équilibre parfait en sous jeu est donc (entrée, pas de réaction)
Jeux séquentiels 4 - Les pirates
Objectif : Induction à rebours : c’est important
On va résoudre le jeu des pirates :
- On a 5 pirates, notés de A à E, par ordre de force
- Ils arrivent sur une île déserte, et y trouvent 100 pièces d’or
- Le plus fort des pirates propose une répartition des pièces entre les pirates :
- Si une majorité stricte est contre, on le tue (majorité faible, ça passe)
Le pirate suivant propose une répartition - Sinon, la répartition est adoptée
Le jeu est terminé
- Si une majorité stricte est contre, on le tue (majorité faible, ça passe)
- On suppose qu’ils sont :
- rationnels : ils veulent maximiser leur nombre de pièces, et préfèrent être pauvres que morts
- pas gratuitement cruels : ils ne choisissent une alternative que si elle leur rapporte plus de pièces
Jeux séquentiels 4 - Les pirates
- Supposez que les 3 premiers pirates sont morts : quelle est la solution adoptée et l’équilibre de Nash?
- E doit tout accepter, donc D propose (100, 0)
- Supposez qu’il reste 3 pirates
- C sait que D va offrir 0 à E
- C, pour éviter de mourir, offrira 1>0 à E, qui valfffide la répartition
- C propose donc (99,0,1)
- Supposez qu’il reste 4 pirates
- Il faut au moins 2 votes
- Il sait que C refusera tout ce qui est inférieur à 99, E tout ce qui est inférieur à 1
- Il a donc intérêt à proposer à D une pièce
- Ce qui donne (99, 0, 1, 0)
Jeux séquentiels 4 : les pirates
- Donnez la solution du jeu à 5 pirates
- A a besoin de deux voix en plus.
- La voix de B “coûte” 100: pas possible
- La voix de C “coûte” 1
- La voix de D coûte 2
- La voix de E coûte 1
- Il peut offrir une pièce à B et E et s’assurer de leurs voix
- La répartition est donc (98,0,1,0,1)
- Résultat contre-intuitif :
- La rationalité seule n’explique pas vos idées : les normes sociales aussi
- Il faut cependant la pousser pour comprendre le résultat!
Duopole
Exercice de duopole
On prend encore deux entreprises, A et B. La fonction de demande inverse est \(P(Q) = a-bQ\). Les coûts de production sont \(CT(q_i)=c_iq_i\)
- Exprimez la fonction de profit
\(\Pi_i(q_i, q_j) = (a - b(q_i+q_j))q_i - c_i q_i\) - A partir de l’équation de profit, trouvez les fonctions de réaction des deux entreprises.
\[ \begin{align} \frac{\partial \Pi_i}{\partial q_i}= a - 2bq_i - bq_j - c &= 0\\ &\Rightarrow q_i(q_j) &= \frac{a - c_i - bq_j}{2b} \end{align} \]
Exercice de duopole
- Déterminez le point d’équilibre du duopole, ainsi que les profits des deux entreprises
\[ \begin{align} q_A &= \frac{a-c_A}{3b}\\ q_B &= \frac{a-c_A}{3b} \end{align} \]
- Déterminez le prix d’équilibre et le profit de chaque entreprise en supposant que \(c_A = c_B = c\)
\[ \begin{align} p = \frac{a+2c}{3}\\ \Pi = \frac{(a-c)^2}{9} \end{align} \]
Exercice de duopole
Maintenant, supposez que l’entreprise \(A\) est leader, et la firme \(B\) est suiveuse. Comment trouver l’équilibre?
- Premièrement, on peut reprendre la même fonction de réaction et l’intégrer dans le profit de l’entreprise \(A\):
\[ \Pi_A = \left(a -c - b \left( q_A + \frac{a-c-bq_A}{2b }\right)\right)q_A\]
On peut donc trouver la quantité qui maximise le profit : \[ \begin{align} \Pi_A' = 0 \iff \left(a -c - \left(2bq_A + b\frac{a - c - 2bq_A}{2b}\right)\right) &= 0\\ \Rightarrow q_A &= \frac{a-c}{2b} \end{align} \]
Et en déduire la quantité produite par B
\[ q_B = \frac{a-c}{4b} \]
Exercice de duopole
On peut comparer les quantités et profits avec \(a= 10\), \(b=1\), \(c=2\)
Collusion
Les deux firmes ont-elles intérêt à opérer une collusion?
- Si la moitié du profit de monopole est supérieur au profit de concurrence en Cournot
- Quel est le profit de monopole?
\[Pi = (a-c-bQ)Q\] - Quelle est la production optimale?
\[a-c-2bQ=0 \Rightarrow Q = \frac{a-c}{2b}\] - Quel est le niveau de profit?
\[P=\frac{a+c}{2} \Rightarrow \Pi = \frac{(a-c)^2}{4}\] - Donc le profit individiuel de chaque firme est :
\[\Pi_A = \Pi_B = \frac{(a-c)^2}{8}>\frac{(a-c)^2}{9}\]